Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади розв'язання

Істинне знання в усі часи грунтувалося навстановленні закономірності і доведенні її правдивості в певних обставинах. За такий тривалий термін існування логічних міркувань були дані формулювання правил, а Аристотель навіть склав список «правильних міркувань». Історично прийнято ділити все умовиводи на два типи - від конкретного до множинного (індукція) і навпаки (дедукція). Слід зазначити, що типи доказів від часткового до загального і від загального до конкретного існують тільки у взаємозв'язку і не можуть бути взаємозамінні.

Індукція в математиці

Термін "індукція" (induction) має латинськекоріння і дослівно перекладається як «наведення». При пильному вивченні можна виділити структуру слова, а саме латинську приставку - in- (позначає спрямовану дію всередину або знаходження всередині) і -duction - введення. Варто зазначити, що існує два види - повна і неповна індукції. Повну форму характеризують висновки, зроблені на підставі вивчення всіх предметів деякого класу.

Неповну - висновки, що застосовуються до всіх предметів класу, але зроблені на підставі вивчення тільки деяких одиниць.

Повна математична індукція - умовивід,базується на загальному висновку про все класі будь-яких предметів, функціонально пов'язаних відносинами натурального ряду чисел на підставі знання цієї функціональної зв'язку. При цьому процес докази проходить в три етапи:

• на першому доводиться правильність положення математичної індукції. Приклад: f = 1, це базис індукції;
• наступний етап будується на припущенні про правомірність положення для всіх натуральних чисел. Тобто, f = h, це припущення індукції;
• на третьому етапі доводиться справедливістьположення для числа f = h + 1, на підставі вірності попередній пункт - це індукційний перехід, або крок математичної індукції. Прикладом може служити так званий "принцип доміно": якщо падає перша кісточка в ряду (базис), то впадуть всі кісточки в ряду (перехід).

І жартома, і всерйоз

Для простоти сприйняття приклади розв'язання методом математичної індукції викривають в форму завдань-жартів. Такою є задача «Ввічлива чергу»:

• Правила поведінки забороняють чоловікові займатичергу перед жінкою (в такій ситуації її пропускають вперед). Виходячи з цього твердження, якщо крайній в черзі - чоловік, то і всі інші - чоловіки.

Яскравим прикладом методу математичної індукції є завдання «Безрозмірний рейс»:

• Потрібно довести, що в маршрутку поміщаєтьсябудь-яка чисельність людей. Правдиво твердження, що одна людина може розміститися всередині транспорту без труднощів (базис). Але як би не була заповнена маршрутка, 1 пасажир в неї завжди поміститься (крок індукції).

знайомі окружності

Приклади розв'язання методом математичної індукції завдань і рівнянь зустрічаються досить часто. Як ілюстрацію такого підходу, можна розглянути таку задачу.

Умова: На площині розміщено h кіл. Потрібно довести, що при будь-якому розташуванні фігур утворена ними карта може бути правильно розфарбована двома фарбами.

Рішення: При h = 1 істинність твердження очевидна, тому доказ буде будуватися для кількості кіл h + 1.

Приймемо допущення, що твердження достовірно длябудь-якої карти, а на площині задано h + 1 кіл. Видаливши із загальної кількості одну з околиць, можна отримати правильно розфарбовану двома фарбами (чорної і білої) карту.

При відновленні віддаленої окружності змінюєтьсяколір кожної області на протилежний (в зазначеному випадку всередині кола). Виходить карта, правильно розфарбована двома кольорами, що й треба було довести.

Приклади з натуральними числами

Нижче наочно показано застосування методу математичної індукції.

Приклади розв'язання:

Довести, що при будь-якому h правильним буде рівність:

1²+2²+3²+ ... + h²= H (h + 1) (2h + 1) / 6.

Рішення:

1. Нехай h = 1, значить:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

З цього випливає, що при h = 1 твердження вірне.

2. При допущенні, що h = d, виходить рівняння:

R₁= d²= D (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. При допущенні, що h = d + 1, виходить:

R_{d + 1}= (D + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+ ... + d²+ (D + 1)²= D (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (D (d + 1) (2d + 1) +6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) +6 (k + 1)) / 6 =

(D + 1) (2d²+ 7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Таким чином, справедливість рівності при h = d + 1 доведена, тому твердження вірне для будь-якого натурального числа, що і показано в прикладі рішення математичної індукції.

завдання

Умова: Потрібен доказ того, що при будь-якому значенні h вираз 7^h-1 ділимо на 6 без залишку.

Рішення:

1. Припустимо, h = 1, в цьому випадку:

R₁= 7¹-1 = 6 (тобто ділиться на 6 без залишку)

Отже, при h = 1 твердження є справедливим;

2. Нехай h = d і 7^d-1 ділиться на 6 без залишку;

3. Доказом справедливості твердження для h = d + 1 є формула:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7 ∙ 7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

В даному випадку перший доданок ділиться на 6 по допущенню першого пункту, а другий доданок дорівнює 6. Твердження про те, що 7^h-1 ділимо на 6 без залишку при будь-якому натуральному h - справедливо.

хибність суджень

Часто в доказах використовують невірніміркування, в силу неточності використовуваних логічних побудов. В основному це відбувається при порушенні структури і логіки докази. Прикладом неправильного міркування може служити така ілюстрація.

завдання

Умова: Потрібен доказ того, що будь-яка купа каміння - не є купкою.

Рішення:

1. Припустимо, h = 1, в цьому випадку в купці 1 камінь і твердження вірне (базис);

2. Нехай при h = d вірно, що купа каміння - не є купкою (припущення);

3. Нехай h = d + 1, з чого випливає, що при додаванні ще одного каменю безліч нічого очікувати бути купкою. Напрошується висновок, що припущення справедливо при всіх натуральних h.

Помилка полягає в тому, що немає визначення, яке кількість каменів утворює купку. Таке упущення називається поспішним узагальненням в методі математичної індукції. Приклад це ясно показує.

Індукція і закони логіки

Історично склалося так, що приклади індукції і дедукції завжди "крокують рука об руку". Такі наукові дисципліни як логіка, філософія описують їх у вигляді протилежностей.

З точки зору закону логіки в індуктивнихвизначеннях проглядається опора на факти, а правдивість посилок не визначає правильність отриманого твердження. Найчастіше виходять умовиводи з певною часткою ймовірності і правдоподібності, які, природно, повинні бути перевірені і підтверджені додатковими дослідженнями. Прикладом індукції в логіці може бути твердження:

В Естонії - посуха, в Латвії - посуха, в Литві - посуха.

Естонія, Латвія і Литва - прибалтійські держави. У всіх прибалтійських державах посуха.

З прикладу можна зробити висновок, що нову інформаціюабо істину не можна отримати за допомогою методу індукції. Все, на що можна розраховувати - це деяка можлива правдивість висновків. Причому, істинність посилок не гарантує таких же висновків. Однак даний факт не означає, що індукція животіє на задвірках дедукції: безліч положень і наукових законів обгрунтовуються за допомогою методу індукції. Прикладом може служити та ж математика, біологія та інші науки. Пов'язано це здебільшого з методом повної індукції, але в деяких випадках може бути застосована і часткова.

Поважний вік індукції дозволив їй проникнути практично в усі сфери діяльності людини - це і наука, і економіка, і життєві висновки.

Індукція в науковому середовищі

Метод індукції вимагає педантичного відносини,оскільки занадто багато що залежить від кількості вивчених частковостей цілого: чим більше число вивчено, тим вірогідніше результат. Виходячи з цієї особливості, наукові закони, отримані методом індукції, досить довго перевіряються на рівні імовірнісних припущень для виокремлення та вивчення всіх можливих структурних елементів, зв'язків і впливів.

У науці індукційне висновок ґрунтується назначущих ознаках, з виключенням випадкових положень. Даний факт важливий у зв'язку зі специфікою наукового пізнання. Це добре видно на прикладах індукції в науці.

Розрізняють два види індукції в науковому світі (в зв'язку зі способом вивчення):

1. індукція-відбір (або селекція);
2. індукція - виняток (елімінація).

Перший вид відрізняється методичним (скрупульозним) відбором зразків класу (підкласів) з різних його областей.

Приклад індукції цього виду наступний: срібло (або солі срібла) очищає воду. Висновок ґрунтується на багаторічних спостереженнях (своєрідний відбір підтверджень і спростувань - селекція).

Другий вид індукції будується на висновках,встановлюють причинні зв'язку і виключають обставини, що не відповідають її властивостям, а саме загальність, дотримання часовій послідовності, необхідність і однозначність.

Індукція і дедукція з позиції філософії

Якщо поглянути на історичну ретроспективу, тотермін "індукція" вперше був згаданий Сократом. Аристотель описував приклади індукції в філософії в більш наближеному термінологічному словнику, але питання неповної індукції залишається відкритим. Після гонінь на аристотелевский силогізм індуктивний метод став визнаватися плідним і єдино можливим в природознавстві. Батьком індукції як самостійного особливого методу вважають Бекона, однак йому не вдалося відокремити, як того вимагали сучасники, індукцію від дедуктивного методу.

Подальшою розробкою індукції займався Дж. Мілль, який розглядав індукційну теорію з позиції чотирьох основних методів: згоди, відмінності, залишків та відповідних змін. Не дивно, що на сьогоднішній день перераховані методи при їх детальному розгляді є дедуктивним.

Усвідомлення неспроможності теорій Бекона і Мілляпривело вчених до дослідження ймовірнісної основи індукції. Однак і тут не обійшлося без крайнощів: були зроблені спроби звести індукцію до теорії ймовірності з усіма витікаючими наслідками.

Вотум довіри індукція отримує при практичномузастосуванні в певних предметних областях і завдяки метричної точності індуктивної основи. Прикладом індукції і дедукції в філософії можна вважати Закон всесвітнього тяжіння. На дату відкриття закону Ньютону вдалося перевірити його з точністю в 4 відсотки. А при перевірці через понад двісті років правильність була підтверджена з точністю до 0,0001 відсотка, хоча перевірка велася все тими ж індуктивними узагальненнями.

Сучасна філософія більше уваги приділяєдедукції, що продиктовано логічним бажанням вивести з уже відомого нові знання (або істини), не звертаючись до досвіду, інтуїції, а оперуючи «чистими» міркуваннями. При зверненні до істинних посилок в дедуктивний метод у всіх випадках на виході виходить істинне твердження.

Ця дуже важлива характеристика не повинназатьмарювати цінність індуктивного методу. Оскільки індукція, спираючись на досягнення досвіду, стає і засобом його обробки (включаючи узагальнення і систематизацію).

Застосування індукції в економіці

Індукція і дедукція давно використовуються як методи дослідження економіки і прогнозування її розвитку.

Спектр використання методу індукції доситьширокий: вивчення виконання прогнозних показників (прибутку, амортизація і т. д.) і загальна оцінка стану підприємства; формування ефективної політики просування підприємства на основі фактів і їх взаємозв'язків.

Той же метод індукції застосований в «картах Шухарта», де при припущенні про поділ процесів на керовані і некеровані стверджується, що рамки керованого процесу малорухливі.

Слід зазначити, що наукові закониобгрунтовуються і підтверджуються за допомогою методу індукції, а оскільки економіка є наукою, часто користується математичним аналізом, теорією ризиків і статистичними даними, то зовсім не дивно присутність індукції в списку основних методів.

Прикладом індукції і дедукції в економіці можеслужити наступна ситуація. Збільшення ціни на продукти харчування (з споживчого кошика) і товари першої необхідності підштовхують споживача до думки про виникає дорожнечі в державі (індукція). Разом з тим, з факту дорожнечі за допомогою математичних методів можна вивести показники зростання цін на окремі товари або категорії товарів (дедукція).

Найчастіше звертається до методу індукціїкеруючий персонал, керівники, економісти. Для того щоб можна було з достатньою правдивістю прогнозувати розвиток підприємства, поведінка ринку, наслідки конкуренції, необхідний индукционно-дедуктивний підхід до аналізу і обробки інформації.

Наочний приклад індукції в економіці, що відноситься до помилкових суджень:

• прибуток компанії скоротився на 30%;
  конкуруюча компанія розширила лінійку продукції;
  більше нічого не змінилося;
• виробнича політика конкуруючої компанії стала причиною скорочення прибутку на 30%;
• отже, потрібно впровадити таку ж виробничу політику.

Приклад є барвистою ілюстрацією того, як невміле використання методу індукції сприяє руйнуванню підприємства.

Дедукція і індукція в психології

Оскільки існує метод, то, за логікою речей,має місце і належним чином організоване мислення (для використання методу). Психологія як наука, що вивчає психічні процеси, їх формування, розвиток, взаємозв'язки, взаємодії, приділяє увагу «дедуктивного» мислення, як однієї з форм прояву дедукції і індукції. На жаль, на сторінках з психології в мережі Інтернет практично відсутнє обґрунтування цілісності дедуктивно-індуктивного методу. Хоча професійні психологи частіше стикаються з проявами індукції, а точніше - помилковими висновками.

Прикладом індукції в психології, як ілюстраціїпомилкових суджень, може служити вислів: моя мати - обманює, отже, всі жінки - ошуканки. Ще більше можна почерпнути «помилкових» прикладів індукції з життя:

• учень ні на що не здатний, якщо отримав двійку з математики;
• він - дурень;
• він розумний;
• я можу все;

- і багато інших оціночні судження, виведені на абсолютно випадкових і, часом, малозначних посиланнях.

Слід зазначити: коли помилковість суджень людини доходить до абсурду, з'являється фронт роботи для психотерапевта. Один із прикладів індукції на прийомі у фахівця:

«Пацієнт абсолютно впевнений в тому, що червоний колірнесе для нього тільки небезпека в будь-яких проявах. Як наслідок, людина виключив зі свого життя дану колірну гамму - наскільки це можливо. У домашній обстановці можливостей для комфортного проживання багато. Можна відмовитися від усіх предметів червоного кольору або замінити їх на аналоги, виконані в іншій кольоровій гамі. Але в громадських місцях, на роботі, в магазині - неможливо. Потрапляючи в ситуацію стресу, пацієнт кожен раз випробовує "приплив" абсолютно різних емоційних станів, що може становити небезпеку для оточуючих ».

Цей приклад індукції, причому неусвідомленої,називається «фіксовані ідеї». У разі якщо таке відбувається з психічно здоровою людиною, можна говорити про нестачу організованості розумової діяльності. Способом позбавлення від нав'язливих станів може стати елементарний розвиток дедуктивного мислення. В інших випадках з такими пацієнтами працюють психіатри.

Наведені приклади індукції свідчать про те, що «незнання закону не звільняє від наслідків (помилкових суджень)».

Психологи, працюючи над темою дедуктивного мислення, склали список рекомендацій, покликаний допомогти людям освоїти даний метод.

Першим пунктом значиться рішення задач. Як можна було переконатися, та форма індукції, яка вживається в математиці, може вважатися «класичної», і використання цього методу сприяє «дисциплінованості» розуму.

Наступним умовою розвитку дедуктивного мисленняє розширення кругозору (хто ясно мислить, той ясно викладає). Дана рекомендація направляє «страждущих» в скарбниці наук та інформації (бібліотеки, сайти, освітні ініціативи, подорожі і т. Д.).

Точність є наступною рекомендацією. Адже із прикладів використання методів індукції добре видно, що саме вона є багато в чому запорукою істинності тверджень.

Не обійшли стороною і гнучкість розуму, маючи на увазі можливість використання різних шляхів і підходів у вирішенні поставленого завдання, а також обліку варіативності розвитку подій.

І, звичайно ж, спостережливість, яка є головним джерелом накопичення емпіричного досвіду.

Окремо слід згадати про так званої«Психологічної індукції». Цей термін, хоча і нечасто, можна зустріти на просторах інтернету. Всі джерела не дають хоча б коротку формулювання визначення цього терміна, але посилаються на «приклади з життя», при цьому видаючи за новий вид індукції то суггестию, то деякі форми психічних захворювань, то крайні стану психіки людини. З усього перерахованого зрозуміло, що спроба вивести «новий термін», спираючись на помилкові (часто не відповідають дійсності) посилки, прирікає експериментатора на отримання помилкового (або поспішного) затвердження.

Слід зазначити, що відсилання до експериментів1960 рік (без зазначення місця проведення, прізвищ експериментаторів, вибірки випробовуваних і найголовніше - цілі експерименту) виглядає, м'яко кажучи, непереконливо, а твердження про те, що мозок сприймає інформацію, минаючи всі органи сприйняття (фраза «відчуває вплив» в даному випадку вписалася б органічніше), змушує задуматися над легковірних і некритичність автора висловлювання.

замість висновку

Цариця наук - математика, не дарма використовує всіможливі резерви методу індукції і дедукції. Розглянуті приклади дозволяють зробити висновок про те, що поверхневе і невміле (бездумне, як ще кажуть) застосування навіть самих точних і надійних методів призводить завжди до помилкових результатів.

У масовій свідомості метод дедукції асоціюється зі знаменитим Шерлоком Холмсом, який в своїх логічних побудовах частіше використовує приклади індукції, в потрібних ситуаціях користуючись дедукцією.

У статті були розглянуті приклади застосування цих методів в різних науках і сферах життєдіяльності людини.