Як обчислюють обсяг піраміди?
Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, вірно зберігають спокій фараонів. Може бути тому піраміду як геометричну фігуру безпомилково впізнають всі, навіть діти.
Проте, спробуємо дати їй геометричневизначення. Уявімо на площині кілька точок (А1, А2, ..., Ап) і ще одну (Е), що не прінадлежайшую їй. Так ось, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2, ..., Ап (підстава), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і в залежності від їх кількості піраміду можна назвати трикутної і чотирикутної, п'ятикутної і т.д.
Якщо уважно придивитися до піраміди, тостане ясно, чому її визначають ще й по-іншому - як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а в якості бічних граней - трикутники, об'єднані спільною вершиною.
Оскільки піраміда - просторова фігура, тоі у неї є така кількісна характеристика, як обсяг. Обсяг піраміди обчислюють за добре відомою формулою обсягу, рівного третини твори підстави піраміди на її висоту:
Обсяг піраміди при виведенні формули спочаткурозраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з об'ємом трикутної призми, що має той же підставу і висоту, яка, як виявляється, в три рази перевищує цей обсяг.
А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від виконуваних при доказі побудов, правомірність наведеної формули обсягу - очевидна.
Окремо серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить правильний багатокутник. Що ж стосується висоти піраміди, то вона повинна «закінчуватися» в центрі підстави.
У разі неправильного багатокутника в основі для обчислення площі підстави потрібно:
- розбити його на трикутники і квадрати;
- підрахувати площу кожного з них;
- скласти отримані дані.
У разі правильного багатокутника в основі піраміди, його площа розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється зовсім просто.
Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутноїпіраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрата) в підставі в квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отриманий добуток на три.
Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи і інші параметри:
- як третину твору радіусу кулі, вписаного в піраміду, на площу її повної поверхні;
- як дві третини твори відстані між двома довільно взятими перехресними ребрами і площі паралелограма, який утворюють середини останніх чотирьох ребер.
Обсяг піраміди обчислюється просто і в разі, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто в разі прямокутної піраміди.
Говорячи про пірамідах, не можна обійти увагою такожусічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної підставі площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди і відсіченою вершини.
Першим обсяг піраміди, правда не зовсім в йогосучасному вигляді, проте рівним 1/3 обсягу відомої нам призми, знайшов Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без докази», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних пластинок.
До питання знаходження об'єму піраміди «звернулася»і векторна алгебра, використовуючи для цього координати її вершин. Піраміда, збудована на трійці векторів a, b, c, дорівнює одній шостій від модуля змішаного твори заданих векторів.
